दिया गया है:
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
निष्कर्ष:
लगातार विषम संख्याओं का योग वर्ग संख्याएँ देता है।
प्राप्त अनुक्रम:
1, 4, 9, 16, 25, 36, …
अर्थात्
1 = 1²
1 + 3 = 2²
1 + 3 + 5 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 4²
…
त्रिभुजाकार संख्याएँ:
1, 3, 6, 10, 15, 21, …
अब प्रत्येक संख्या को 6 से गुणा करके 1 जोड़ते हैं:
|
त्रिभुजाकार संख्या |
6 × संख्या + 1 |
|
1 |
7 |
|
3 |
19 |
|
6 |
37 |
|
10 |
61 |
|
15 |
91 |
|
21 |
127 |
प्राप्त अनुक्रम:
7, 19, 37, 61, 91, 127, …
यह षड्भुजाकार संख्याओं (Centered Hexagonal Numbers) का अनुक्रम है।
दिया गया है:
1, 1+7, 1+7+19, 1+7+19+37, …
योग निकालते हैं:
|
योग |
मान |
|
1 |
1 |
|
1 + 7 |
8 |
|
1 + 7 + 19 |
27 |
|
1 + 7 + 19 + 37 |
64 |
|
1 + 7 + 19 + 37 + 61 |
125 |
प्राप्त अनुक्रम:
1, 8, 27, 64, 125, …
यह घन संख्याओं (Cube Numbers) का अनुक्रम है।
अर्थात्
1 = 1³
1 + 7 = 2³
1 + 7 + 19 = 3³
1 + 7 + 19 + 37 = 4³
1 + 7 + 19 + 37 + 61 = 5³
सम संख्याएँ:
2, 4, 6, 8, 10, …
योग:
2 = 2
2 + 4 = 6
2 + 4 + 6 = 12
2 + 4 + 6 + 8 = 20
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
प्राप्त अनुक्रम:
2, 6, 12, 20, 30, …
यह n(n+1) के रूप में बढ़ता है।
अनुक्रम:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …
नियम:
हर अगली संख्या पिछली संख्या की दोगुनी है।
उदाहरण:
1 × 2 = 2
2 × 2 = 4
4 × 2 = 8
8 × 2 = 16
हर बार नीचे एक नई पंक्ति जुड़ती है।
संख्याएँ:
1, 3, 6, 10, 15, …
ये त्रिभुजाकार संख्याएँ हैं।
संख्याएँ:
1, 4, 9, 16, 25, …
ये वर्ग संख्याएँ हैं।
|
भुजाएँ |
आकार |
|
3 |
सम त्रिभुज |
|
4 |
वर्ग |
|
5 |
पंचभुज |
|
6 |
षड्भुज |
|
7 |
सप्तभुज |
|
8 |
अष्टभुज |
|
9 |
नवभुज |
|
10 |
दशभुज |
विषम संख्याओं का योग → वर्ग संख्याएँ
त्रिभुजाकार संख्या × 6 + 1 → षड्भुजाकार संख्याएँ
षड्भुजाकार संख्याओं का संचयी योग → घन संख्याएँ
ढेरित त्रिभुज → त्रिभुजाकार संख्याएँ
ढेरित वर्ग → वर्ग संख्याएँ
सम बहुभुजों की भुजाएँ → 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…
1 + 3 + 5 + 7 + … = पूर्ण वर्ग
1, 4, 9, 16, 25, 36, …
