1. क्या आप सारणी 3 के प्रत्येक अनुक्रम में पैटर्न की पहचान कर सकते हैं?

उत्तर:

(क) ढेरित त्रिभुज (Stacked Triangles)

पैटर्न: प्रत्येक चरण में एक नई पंक्ति जोड़कर बड़ा त्रिभुज बनता है।

संख्या क्रम:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
(त्रिभुजाकार संख्याएँ)

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(ख) संपूर्ण आलेख (Complete Graphs)

K₂ → K₃ → K₄ → K₅ → K₆

पैटर्न:
हर नए बिंदु को सभी पुराने बिंदुओं से जोड़ा जाता है।

भुजाओं की संख्या:

K₂ = 1

K₃ = 3

K₄ = 6

K₅ = 10

K₆ = 15

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(ग) ढेरित वर्ग (Stacked Squares)

पैटर्न:
हर चरण में एक नई वर्गीय परत जुड़ती है।

संख्या क्रम:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

(वर्ग संख्याएँ)

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(घ) कोच हिमकण (Koch Snowflake)

पैटर्न:
हर चरण में प्रत्येक भुजा को तीन भागों में विभाजित कर बीच वाले भाग पर नया त्रिभुज बनाया जाता है।

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(ङ) सम बहुभुज

त्रिभुज → चतुर्भुज → पंचभुज → षट्भुज → सप्तभुज → अष्टभुज → नवभुज → दशभुज

पैटर्न:
प्रत्येक चरण में एक भुजा बढ़ती जाती है।

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2. क्या आप प्रत्येक अनुक्रम में अगला आकार बना सकते हैं?

उत्तर:

हाँ।

क्योंकि प्रत्येक आकार एक निश्चित नियम का पालन करता है।

उदाहरण:

• त्रिभुज के बाद अगला बड़ा त्रिभुज बनेगा।
• वर्ग के बाद अगला बड़ा वर्ग बनेगा।
• दशभुज के बाद एकादशभुज (11 भुजाएँ) बनेगा।
• K₆ के बाद K₇ बनेगा।

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7. जब आप त्रिभुजाकार संख्याओं को 6 से गुणा करके 1 जोड़ते हैं तो क्या होता है?

त्रिभुजाकार संख्याएँ:

1, 3, 6, 10, 15, 21, …

अब 6 से गुणा करके 1 जोड़ें:

6×1+1 = 7

6×3+1 = 19

6×6+1 = 37

6×10+1 = 61

6×15+1 = 91

6×21+1 = 127

प्राप्त अनुक्रम:

7, 19, 37, 61, 91, 127, …

यह षट्भुजाकार संख्याओं (Hexagonal Numbers) का अनुक्रम है।

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8. जब आप षट्भुजाकार संख्याओं को जोड़ना प्रारम्भ करते हैं तब क्या होता है?

दिया गया है:

1

1 + 7 = 8

1 + 7 + 19 = 27

1 + 7 + 19 + 37 = 64

1 + 7 + 19 + 37 + 61 = 125

1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 = 216

प्राप्त अनुक्रम:

1, 8, 27, 64, 125, 216, …

यह घन संख्याओं (Cube Numbers) का अनुक्रम है।

अर्थात्

1³ = 1

2³ = 8

3³ = 27

4³ = 64

5³ = 125

6³ = 216

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9. सारणी 1 के अनुक्रमों में अन्य पैटर्न

पैटर्न 1

विषम संख्याओं का योग = वर्ग संख्याएँ

1 = 1²

1+3 = 2²

1+3+5 = 3²

1+3+5+7 = 4²

1+3+5+7+9 = 5²

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पैटर्न 2

गणन संख्याओं का योग = त्रिभुजाकार संख्याएँ

1 = 1

1+2 = 3

1+2+3 = 6

1+2+3+4 = 10

1+2+3+4+5 = 15

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पैटर्न 3

वर्ग संख्याओं का अंतर

4−1 = 3

9−4 = 5

16−9 = 7

25−16 = 9

अर्थात् क्रमागत वर्गों का अंतर विषम संख्याएँ देता है।

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NCERT के मुख्य निष्कर्ष

✅ विषम संख्याओं का योग = वर्ग संख्याएँ

✅ गणन संख्याओं का योग = त्रिभुजाकार संख्याएँ

✅ 6 × (त्रिभुजाकार संख्या) + 1 = षट्भुजाकार संख्या

✅ षट्भुजाकार संख्याओं का योग = घन संख्याएँ

✅ आकार अनुक्रम और संख्या अनुक्रम एक-दूसरे से जुड़े होते हैं

✅ सम बहुभुजों में प्रत्येक चरण में एक भुजा बढ़ती है

ये उत्तर NCERT कक्षा 6 गणित “गणित में पैटर्न” अध्याय के अनुरूप हैं।